4404. На основании BC
трапеции ABCD
взята точка E
, лежащая на одной окружности с точками A
, C
и D
. Другая окружность, проходящая через точки A
, B
и C
, касается прямой CD
. Найдите BC
, если AB=12
и BE:EC=4:5
. Найдите все возможные значения отношения радиуса первой окружности к радиусу второй при данных условиях.
Ответ. 18; \frac{r_{1}}{r_{2}}\in(\frac{1}{3};1)\cup(1;\frac{5}{3})
.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ACD=\angle ABC,
а так как BC\parallel AD
, то
\angle CAD=\angle ACB.
Значит, треугольники ACD
и CBA
подобны по двум углам. Поэтому \angle BAC=\angle CDA
, т. е. угол BAC
равен половине не содержащей точки D
дуги AC
окружности, описанной около треугольника ACD
. Тогда по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), прямая AB
— касательная к этой окружности.
Положим BE=4t
, EC=5t
. По теореме о касательной и секущей AB^{2}=BC\cdot BE
, или 12^{2}=4t(4t+5t)
. Из этого уравнения находим, что t=2
. Следовательно, BC=9t=18
.
Для выполнения условий задачи необходимо и достаточно существования треугольника ABC
со сторонами AB=12
и BC=18
(точка D
восстанавливается из равенства соответствующих углов, влекущего и параллельность прямых AD
и BC
, и касание прямыми AB
и CD
соответствующих окружностей, и деление точкой E
секущей BC
в нужном отношении), кроме случая BC=AC
(когда и AC=AD
, а ABCD
— параллелограмм). Существование такого треугольника равносильно условию
BC-AB\lt AC\lt BC+AB,~\mbox{или}~18-12\lt AC\lt18+12
(неравенство треугольника). Тогда отношение радиусов окружностей, описанных около подобных треугольников ACD
и ABC
, удовлетворяет соотношениям
1\ne\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{AC}{BC}\in\left(\frac{18-12}{18};\frac{18+12}{18}\right)=\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right).
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 2005, вариант 1, № 4
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2003—2005 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2006. — с. 56