4412. Произведение средней линии трапеции и отрезка, соединяющего середины её диагоналей, равно 25. Найдите площадь трапеции, если её высота втрое больше разности оснований.
Ответ. 150.
Указание. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований (см. задачу 1226).
Решение. Известно, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, а отрезок, соединяющий середины диагоналей, — полуразности оснований (см. задачу 1226). Пусть a
и b
— основания трапеции (a\gt b
), h
— её высота, S
— площадь. По условию задачи
\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a-b}{2}=25,~h=3(a-b).
Следовательно,
S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{a+b}{2}\cdot3(a-b)=\frac{3}{2}(a+b)(a-b)=\frac{3}{2}\cdot25\cdot4=150.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 2005 вариант 1, № 2
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2003—2005 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2006. — с. 153