4451. На плоскости даны треугольник ABC
и такие точки D
и E
, что \angle ADB=\angle BEC=90^{\circ}
. Докажите, что длина отрезка DE
не превосходит полупериметра треугольника ABC
.
Указание. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Решение. Пусть F
и G
— середины сторон AB
и BC
соответственно. Тогда DF
и EG
— медианы прямоугольных треугольников ADB
и BEC
, проведённые из вершин прямых углов. Поэтому (см. задачу 1109)
DF=\frac{1}{2}AB,~EG=\frac{1}{2}BC.
Кроме того, FG
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому FG=\frac{1}{2}AC
.
Следовательно,
DE\leqslant DF+FG+EG=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AB+AC+BC),
что и требовалось доказать.
Примечание. Равенство достигается в случае, когда прямая DE
проходит через середины сторон AB
и BC
.