4452. В четырёхугольнике ABCD
на сторонах BC
и AD
взяты точки R
и T
соответственно. Отрезки BT
и AR
пересекаются в точке P
, отрезки CT
и DR
— в точке S
. Оказалось, что PRST
— параллелограмм. Докажите, что AB\parallel CD
.
Решение. Пусть прямые AB
и CT
пересекаются в точке M
. Из параллельности прямых AR
и CM
следует, что \frac{AP}{PR}=\frac{MT}{TC}
, а из параллельности BT
и RD
— \frac{AP}{PR}=\frac{AT}{TD}
. Поэтому \frac{MT}{TC}=\frac{AT}{TD}
.
Треугольники ATM
и DTC
подобны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \angle AMT=\angle DCT
. Следовательно, BM\parallel CD
, что и требовалось доказать.
Примечание. Эта задача — частный случай задачи 1628.