4460. На стороне AC
треугольника ABC
выбрана точка D
, причём DC=2AD
; O
— центр вписанной окружности треугольника DBC
, E
— точка касания этой окружности с прямой BD
. Оказалось, что BD=BC
. Докажите, что прямая AE\parallel DO
.
Решение. Пусть P
— точка касания вписанной окружности равнобедренного треугольника BDC
со стороной CD
. Тогда
DE=DP=\frac{1}{2}CD=AD.
Значит, медиана DE
треугольника AEP
равна половине стороны AP
. Поэтому AE\perp PE
(см. задачу 1188), а так как DO\perp EP
, то AE\parallel DO
.