4475. В четырёхугольнике ABCD
точки K
, L
, M
, N
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
, DA
. Прямые AL
и CK
пересекаются в точке P
, прямые AM
и CN
— в точке Q
. Оказалось, что APCQ
— параллелограмм. Докажите, что ABCD
— тоже параллелограмм.
Решение. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что KLMN
— параллелограмм (см. задачу 1204). Пусть O
— его центр, т. е. общая середина отрезков LN
и KM
. При симметрии относительно точки O
точка K
переходит в точку M
, луч KC
— в противоположно направленный с ним луч MA
, точка L
— в точку N
, луч LA
— в противоположно направленный с ним луч NC
. Значит, при этой симметрии точка P
пересечения лучей KC
и LA
переходит в точку Q
пересечения лучей MA
и NC
. Поэтому O
— середина PQ
, т. е. центр параллелограмма APCQ
. Следовательно, ALCN
— также параллелограмм (его диагонали делятся точкой пересечения O
пополам). Тогда CL\parallel AN
. Аналогично, CM\parallel AK
. Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Храбров А. И.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1997 г., первый тур, 8 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 86
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 13.20, с. 102