4493. В треугольнике ABC
точка M
— середина стороны BC
; AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты. Прямые AB
и A_{1}B_{1}
пересекаются в точке X
, а прямые MC_{1}
и AC
— в точке Y
. Докажите, что XY\parallel BC
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
. Поскольку B_{1}
и C_{1}
— основания высот,
\angle AB_{1}C_{1}=\angle ABC=\beta.
Аналогично, \angle YB_{1}X=\angle CB_{1}A_{1}=\beta
.
Отрезок C_{1}M
— медиана прямоугольного треугольника BC_{1}C
, поэтому (см. задачу 1109)
\angle YC_{1}X=\angle MC_{1}B=\angle MBC_{1}=\angle ABC=\beta.
Таким образом, из точек B_{1}
и C_{1}
отрезок XY
виден под одним и тем же углом, значит эти точки лежат на одной окружности. Тогда
\angle YXC_{1}=180^{\circ}-\angle YB_{1}C_{1}=\angle AB_{1}C_{1}=\beta=\angle CBA.
Следовательно, XY\parallel BC
.
Автор: Ростовский Д. А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1998 г., второй тур, 9 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 117