4498. Окружность, проходящая через вершины A
и C
треугольника ABC
, пересекает сторону AB
в её середине D
, а сторону BC
— в точке E
. Окружность, проходящая через точку E
и касающаяся в точке C
прямой AC
, пересекает прямую DE
в точке F
. K
— точка пересечения прямых AC
и DE
. Докажите, что прямые CF
, AE
и BK
пересекаются в одной точке.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle CFE=\angle ACE
, а так как четырёхугольник ADEC
— вписанный, то \angle ACE=\angle BDE
. Поэтому \angle CFE=\angle BDE
. Значит CF\parallel AB
.
Пусть G
— точка пересечения прямых CF
и BK
. Поскольку DK
— медиана треугольника ABK
и CG\parallel AB
, то FG=CF
(см. задачу 1513).
Пусть G_{1}
— точка пересечения AE
и CF
. Аналогично, FG_{1}=CF
. Значит, точки G
и G_{1}
совпадают. Отсюда следует утверждение задачи.