4502. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Докажите, что \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}
.
Указание. Медианы треугольника делятся их точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины сторон соответственно BC
, AC
, AB
треугольника ABC
. Тогда
\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=-\frac{2}{3}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}})=-\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.
Примечание. Верно и обратное: если для точки M
верно равенство
\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0},
то M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
.
Действительно, пусть M'
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 4505)
\overrightarrow{MM'}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.
Следовательно, точки M
и M'
совпадают.