4506. Пусть M
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
параллелограмма ABCD
, O
— произвольная точка. Докажите, что
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}).
Указание. \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})
.
Решение. Сложив почленно равенства
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}),~\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})
(см. задачу 4500), получим, что
2\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}).
Следовательно,
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}).
Примечание. Утверждение верно для любого параллелограмма и любой точки O
пространства.