4509. Дан треугольник ABC
и точка M
. Известно, что \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}
. Докажите, что M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
.
Указание. Пусть M_{1}
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Выразите вектор \overrightarrow{MM_{1}}
через векторы \overrightarrow{MA}
, \overrightarrow{MB}
и \overrightarrow{MC}
.
Решение. Пусть M_{1}
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда
\overrightarrow{MM_{1}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}
(см. задачу 4505). Следовательно точки M
и M_{1}
совпадают.