4513. Стороны параллелограмма разделены по обходу в равных отношениях. Докажите, что точки деления служат вершинами параллелограмма, а центры симметрии этих параллелограммов совпадают.
Указание. Если M
и N
— точки пересечения диагоналей параллелограммов ABCD
и PQRS
, то \overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{CR}+\overrightarrow{DS})
.
Решение. Пусть точки P
, Q
, R
, S
принадлежат сторонам соответственно AB
, BC
, CD
, DA
параллелограмма ABCD
и
\frac{AP}{PB}=\frac{BQ}{QC}=\frac{CR}{RD}=\frac{DS}{SA}=k.
Тогда
\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BQ}=\frac{1}{k+1}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k+1}\overrightarrow{BC},
\overrightarrow{SR}=\overrightarrow{SD}+\overrightarrow{DR}=\frac{k}{k+1}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{k+1}\overrightarrow{DC}=\frac{k}{k+1}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{k+1}\overrightarrow{AB}.
Поэтому \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{SR}
. Следовательно, PQRS
— параллелограмм.
Пусть теперь M
и N
— точки пересечения диагоналей параллелограммов ABCD
и PQRS
. Тогда (см. задачу 4508)
\overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{CR}+\overrightarrow{DS})=
=\frac{1}{4}\left(\frac{k}{k+1}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k+1}\overrightarrow{BC}+\frac{k}{k+1}\overrightarrow{CD}+\frac{k}{k+1}\overrightarrow{DA}\right)=
=\frac{k}{4(k+1)}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})=\frac{k}{4(k+1)}\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.
Следовательно, точки M
и N
совпадают.