4527. Две взаимно перпендикулярные хорды AB
и CD
окружности с центром O
пересекаются в точке M
. Докажите, что \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})
.
Указание. Если P
— середина отрезка AB
, то \overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})
.
Решение. Пусть P
и Q
— середины хорд AB
и CD
соответственно. Тогда четырёхугольник OPMQ
— прямоугольник. Следовательно (см. задачу 4500),
\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})=
=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}).