4529. Из произвольной точки M
внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры MK_{1}
, MK_{2}
, MK_{3}
на его стороны. Докажите, что
\overrightarrow{MK_{1}}+\overrightarrow{MK_{2}}+\overrightarrow{MK_{3}}=\frac{3}{2}\cdot\overrightarrow{MO},
где O
— центр треугольника.
Указание. Через точку M
проведите прямые, параллельные сторонам треугольника.
Решение. Проведём через точку M
прямые, параллельные сторонам треугольника, и обозначим точки пересечения этих прямых со сторонами треугольника, как показано на рисунке. Тогда K_{1}
, K_{2}
, K_{3}
— середины отрезков A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
, C_{1}C_{2}
соответственно. Поэтому (см. задачу 4500)
\overrightarrow{MK_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MA_{1}}+\overrightarrow{MA_{2}}),~~\overrightarrow{MK_{2}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MB_{1}}+\overrightarrow{MB_{2}}),~~\overrightarrow{MK_{3}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MC_{1}}+\overrightarrow{MC_{2}}).
Кроме того,
\overrightarrow{MC_{1}}+\overrightarrow{MB_{2}}=\overrightarrow{MA},~~\overrightarrow{MC_{2}}+\overrightarrow{MA_{1}}=\overrightarrow{MB},~~\overrightarrow{MA_{2}}+\overrightarrow{MB_{1}}=\overrightarrow{MC}.
Тогда
\overrightarrow{MK_{1}}+\overrightarrow{MK_{2}}+\overrightarrow{MK_{3}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MA_{1}}+\overrightarrow{MA_{2}}+\overrightarrow{MB_{1}}+\overrightarrow{MB_{2}}+\overrightarrow{MC_{1}}+\overrightarrow{MC_{2}})=
=\frac{1}{2}\left((\overrightarrow{MC_{1}}+\overrightarrow{MB_{2}})+(\overrightarrow{MC_{2}}+\overrightarrow{MA_{1}})+(\overrightarrow{MA_{2}}+\overrightarrow{MB_{1}})\right)=
=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=\frac{1}{2}\cdot3\cdot\overrightarrow{MO}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}.
Автор: Прасолов В. В.
Источник: Турнир городов. — 1982-1983, IV, первый тур, 10-11 класс.
Источник: Журнал «Квант». — 1983, № 6, с. 43, М807(а)
Источник: Задачник «Кванта». — М807(а)