4538. В треугольнике ABC
на средней линии DE
, параллельной AB
, как на диаметре построена окружность, пересекающая продолжения сторон AC
и BC
в точках M
и N
. Найдите MN
, если BC=a
, AC=b
, AB=c
.
Ответ. \frac{c(c^{2}-a^{2}-b^{2})}{4ab}
.
Указание. Треугольники CMN
и CED
подобны с коэффициентом |\cos\angle ACB|
.
Решение. Треугольники CMN
и CED
подобны с коэффициентом -\cos\angle ACB
(см. задачу 19). Следовательно,
MN=-DE\cos\angle ACB=\frac{c}{2}\cdot\frac{c^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}=\frac{c(c^{2}-a^{2}-b^{2})}{4ab}.