4538. В треугольнике ABC
на средней линии DE
, параллельной AB
, как на диаметре построена окружность, пересекающая продолжения сторон AC
и BC
в точках M
и N
. Найдите MN
, если BC=a
, AC=b
, AB=c
.
Ответ. \frac{c(c^{2}-a^{2}-b^{2})}{4ab}
.
Указание. Треугольники CMN
и CED
подобны с коэффициентом |\cos\angle ACB|
.
Решение. Треугольники CMN
и CED
подобны с коэффициентом -\cos\angle ACB
(см. задачу 19). Следовательно,
MN=-DE\cos\angle ACB=\frac{c}{2}\cdot\frac{c^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}=\frac{c(c^{2}-a^{2}-b^{2})}{4ab}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1973, билет 5, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 73-5-3, с. 162