4560. В равнобедренном треугольнике ABC
угол при основании AC
равен \alpha
. Окружность, вписанная в этот треугольник, касается сторон треугольника в точках A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
. Найдите отношение площади треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
к площади треугольника ABC
.
Ответ. \cos\alpha(1-\cos\alpha)
.
Решение. Пусть вписанная окружность касается основания AC
равнобедренного треугольника ABC
в точке B_{1}
. Тогда B_{1}
— середина AC
. Обозначим AB_{1}=CB_{1}=a
. Из прямоугольного треугольника ABB_{1}
находим, что
AB=\frac{AB_{1}}{\cos\alpha}=\frac{a}{\cos\alpha}.
Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle CA_{1}B_{1}}=S_{\triangle AB_{1}C_{1}}\frac{AB_{1}}{AC}\cdot\frac{AC_{1}}{AB}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{a}{2a}\cdot\frac{a}{\frac{a}{\cos\alpha}}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cos\alpha S_{\triangle ABC}.
Треугольник BC_{1}A_{1}
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом
k=\frac{BC_{1}}{AB}=\frac{AB-AC_{1}}{AB}=\frac{\frac{a}{\cos\alpha}-a}{\frac{a}{\cos\alpha}}=1-\cos\alpha,
поэтому
S_{\triangle BA_{1}C_{1}}=k^{2}S_{\triangle ABC}=(1-\cos\alpha)^{2}S_{\triangle ABC}.
Следовательно,
S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BA_{1}C_{1}}-2S_{\triangle AB_{1}C_{1}}=(1-(1-\cos\alpha)^{2}-\cos\alpha)S_{\triangle ABC}=
=\cos\alpha(1-\cos\alpha)S_{\triangle ABC},~\frac{S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}}{S_{\triangle ABC}}=\cos\alpha(1-\cos\alpha).
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1967, билет 8, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 67-8-2, с. 123