4579. В треугольнике ABC
известно, что AB=c
, AC=b
, а биссектриса, выходящая из угла A
равна l
. Найдите третью сторону треугольника.
Ответ. (b+c)\sqrt{\frac{bc-l^{2}}{bc}}
.
Указание. Примените формулу для биссектрисы треугольника (см. задачу 791 или 4021).
Решение. Первый способ. Пусть AD=l
— биссектриса треугольника ABC
, BD=c'
, CD=b'
.
Докажем сначала, что квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой, т. е. l^{2}=bc-b'c'
.
Пусть M
— точка пересечения продолжения биссектрисы AD
треугольника ABC
с описанной около этого треугольника окружностью. Тогда треугольник ABD
подобен треугольнику AMC
по двум углам. Поэтому
\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AM},~\mbox{или}~AD(AD+DM)=AC\cdot AB,
l(l+DM)=bc,~l^{2}=bc-l\cdot DM=bc-b'c'.
(l\cdot DM=b'c'
по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд), что и требовалось доказать.
По свойству биссектрисы треугольника \frac{c'}{b'}=\frac{BD}{CD}=\frac{c}{b}
. Положим c'=cx
, b'=bx
. Тогда l^{2}=bc-b'c'=bc-bcx^{2}
, откуда x=\sqrt{\frac{bc-l^{2}}{bc}}
. Следовательно,
BC=b'+c'=(b+c)x=(b+c)\sqrt{\frac{bc-l^{2}}{bc}}.
Второй способ. Обозначим \angle BAC=\alpha
. По формуле для биссектрисы треугольника l=\frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}
(см. задачу 4021). Отсюда находим, что \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{l(b+c)}{2bc}
. Тогда
\cos\alpha=2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1=2\cdot\left(\frac{l(b+c)}{2bc}\right)^{2}-1=\frac{l^{2}(b+c)^{2}}{2b^{2}c^{2}}-1.
По теореме косинусов
BC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos\alpha=
=b^{2}+c^{2}-2bc\left(\frac{l^{2}(b+c)^{2}}{2b^{2}c^{2}}-1\right)=
=b^{2}+c^{2}-\frac{l^{2}(b+c)^{2}}{bc}+2bc=(b+c)^{2}-\frac{l^{2}(b+c)^{2}}{bc}=
=(b+c)^{2}\left(1-\frac{l^{2}}{bc}\right).
Следовательно,
BC=(b+c)\sqrt{1-\frac{l^{2}}{bc}}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1964, билет 3, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 64-3-3, с. 104
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2013, отборочный этап