4597. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна a
, основание равно b
. Вписанная в этот треугольник окружность касается его сторон в точках M
, N
и K
. Найдите площадь треугольника MNK
.
Ответ. \frac{b^{2}(2a-b)\sqrt{4a^{2}-b^{2}}}{16a^{2}}
.
Решение. Пусть окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC
, касается основания AC
в точке M
, а боковых сторон BC
и AB
— в точках N
и K
соответственно. Тогда M
— середина основания AC
,
CN=CM=\frac{b}{2},~AK=AM=\frac{b}{2},~BK=BN=a-\frac{b}{2}.
Обозначим S_{\triangle ABC}=S
. Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle BKN}=\frac{BK}{AB}\cdot\frac{BN}{BC}S=\frac{a-\frac{b}{2}}{a}\cdot\frac{a-\frac{b}{2}}{a}S=\left(1-\frac{b}{2a}\right)^{2}S,
S_{\triangle CMN}=S_{\triangle AKM}=\frac{AK}{AB}\cdot\frac{AM}{AC}S=\frac{\frac{b}{2}}{a}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{b}{4a}S,
поэтому
S_{\triangle MNK}=S-S_{\triangle BKN}-2S_{\triangle AKM}=S\left(1-\left(1-\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b}{2a}\right)=
=S\left(1-\frac{b}{2a}\right)\cdot\frac{b}{2a}=S\cdot\frac{b(2a-b)}{4a^{2}},
а так как
S=\frac{1}{2}b\sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}}=\frac{b\sqrt{4a^{2}-b^{2}}}{4},
то
S_{\triangle MNK}=S\cdot\frac{b(2a-b)}{4a^{2}}=\frac{b\sqrt{4a^{2}-b^{2}}}{4}\cdot\frac{b(2a-b)}{4a^{2}}=\frac{b^{2}(2a-b)\sqrt{4a^{2}-b^{2}}}{16a^{2}}.