4598. В треугольнике ABC
угол A
равен 60^{\circ}
; AB:AC=3:2
. На сторонах AB
и AC
расположены соответственно точки M
и N
так, что BM=MN=NC
. Найдите отношение площади треугольника AMN
к площади треугольника ABC
.
Ответ. \frac{4}{25}
.
Решение. Положим AB=3t
, AC=2t
, BM=MN=NC=x
. По теореме косинусов
MN^{2}=AM^{2}+AN^{2}-2AM\cdot AN\cos60^{\circ},~x^{2}=(3t-x)^{2}+(2t-x)^{2}-(3t-x)(2t-x),
откуда x=\frac{7}{5}t
. Тогда
AM=3t-x=3t-\frac{7}{5}t=\frac{8}{5}t,~AN=2t-x=2t-\frac{7}{5}t=\frac{3}{5}t,
следовательно (см. задачу 3007),
\frac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AM}{AB}\cdot\frac{AN}{AC}=\frac{\frac{8}{5}t}{3t}\cdot\frac{\frac{3}{5}t}{2t}=\frac{4}{25}.