4626. На боковых сторонах AB
и BC
равнобедренного треугольника ABC
расположены точки соответственно M
и N
так, что \frac{AM}{BM}=m
, \frac{CN}{BN}=n
. Прямая MN
пересекает высоту BD
треугольника в точке O
. Найдите отношение \frac{DO}{BO}
.
Ответ. \frac{1}{2}(m+n)
.
Решение. Пусть площадь треугольника ABC
равна S
. Тогда площади треугольников ABD
и CBD
равны по \frac{1}{2}S
. Обозначим \frac{BO}{BD}=x
. Тогда
S_{\triangle BMN}=\frac{BM}{AB}\cdot\frac{BN}{BC}S=\frac{1}{m+1}\cdot\frac{1}{n+1}\cdot S
(см. задачу 3007). С другой стороны
S_{\triangle BMN}=S_{\triangle BMO}+S_{\triangle BNO}=\frac{1}{m+1}\cdot x\cdot\frac{1}{2}S+\frac{1}{n+1}\cdot x\cdot\frac{1}{2}S.
Из уравнения
\frac{1}{(m+1)(n+1)}\cdot S=\frac{1}{m+1}\cdot x\cdot\frac{1}{2}S+\frac{1}{n+1}\cdot x\cdot\frac{1}{2}S
находим, что x=\frac{2}{m+n+2}
. Следовательно,
\frac{DO}{BO}=\frac{BD-BO}{BO}=\frac{BD}{BO}-1=\frac{1}{x}-1=\frac{m+n+2}{2}-1=\frac{1}{2}(m+n).
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1969, билет 3, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 69-3-3, с. 131