4665. Окружность радиуса 3 вписана в прямоугольную трапецию, меньшее основание которой равно 4. Найдите большее основание трапеции.
Ответ. 12.
Указание. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под прямым углом (см. задачу 313).
Решение. Пусть O
— центр окружности радиуса 3, вписанной в трапецию ABCD
с основаниями AD
и BC=4
, \angle C=\angle D=90^{\circ}
, а окружность касается сторон CD
, BC
, AB
и AD
в точках K
, L
, M
и N
соответственно.
Четырёхугольники ONDK
и OKCL
— квадраты, поэтому
DN=OK=3,~CL=OK=3,~BM=BL=BC-CL=4-3=1.
Лучи AO
и BO
— биссектрисы углов при боковой стороне трапеции. Сумма этих углов равна 180^{\circ}
, сумма их половин равна 90^{\circ}
. Следовательно, \angle AOB=90^{\circ}
, значит, OM=3
— высота прямоугольного треугольника AOB
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому OM^{2}=BM\cdot AM
, откуда находим, что
AM=\frac{OM^{2}}{BM}=\frac{9}{1}=9.
Тогда
AN=AM=9,~AD=AN+DN=9+3=12.