4703. В треугольнике ABC
проведены медианы AA_{1}
и BB_{1}
. Докажите, что если \angle CAA_{1}=\angle CBB_{1}
, то AC=BC
.
Указание. Точки A
, B
, A_{1}
и B_{1}
лежат на одной окружности.
Решение. Из точек A
и B
, лежащих по одну сторону от прямой A_{1}B_{1}
, отрезок A_{1}B_{1}
виден под одним и тем же углом, значит, точки A
, B
, A_{1}
и B_{1}
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Параллельные прямые AB
и A_{1}B_{1}
высекают на ней равные хорды AB_{1}
и BA_{1}
. Значит, AB_{1}=BA_{1}
. Следовательно, AC=BC
.