4706. Диагонали равнобедренной трапеции ABCD
с боковой стороной AB
пересекаются в точке P
. Докажите, что центр O
её описанной окружности лежит на описанной окружности треугольника APB
.
Указание. \angle BPA=\frac{\smile AB+\smile CD}{2}
.
Решение. Поскольку AB=CD
, то
\angle BPA=\frac{\smile AB+\smile CD}{2}=\smile AB=\angle AOB
(см. задачу 26). Следовательно, точки A
, B
, P
и O
лежат на одной окружности (описанной окружности треугольника APB
).
Примечание. Следствие. Боковая сторона равнобокой трапеции видна из центра описанной окружности и из точки пересечения диагоналей под одним и тем же углом.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 2.16, с. 33
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2.17, с. 33