4720. Через вершины A
, B
, C
, D
вписанного четырёхугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, проведены касательные к описанной окружности. Докажите, что образованный ими четырёхугольник — вписанный.
Указание. Докажите, что сумма противоположных углов построенного четырёхугольника равна 180^{\circ}
.
Решение. Пусть F
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
данного четырёхугольника. Поскольку \angle AFD=\frac{1}{2}(\cup AD+\cup BC)=90^{\circ}
(см. задачу 26), то \cup AD+\cup BC=180^{\circ}
, т. е. дуги AD
и BC
меньше 180^{\circ}
. Аналогично для дуг AB
и CD
. Поэтому построенный четырёхугольник содержит описанную около четырёхугольника ABCD
окружность.
Если O
— центр этой окружности, M
— общая точка касательных, проведённых через A
и B
, а P
— общая точка касательных, проведённых через C
и D
, то
\angle AMB=180^{\circ}-\angle AOB,~\angle DPC=180^{\circ}-\angle DOC.
Поэтому
\angle AMB+\angle DPC=360^{\circ}-(\angle AOB+\angle DOC)=
=360^{\circ}-(2\angle ADB+2\angle DAC)=360^{\circ}-2(\angle ADB+\angle DAC)=
=360^{\circ}-2\cdot90^{\circ}=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник, образованный указанными касательными, — вписанный.