4778. Докажите, что прямая, соединяющая середины дуг AB
и AC
, где A
, B
и C
— три точки одной окружности, отсекает на хордах AB
и AC
равные отрезки, считая от точки A
.
Указание. Угол между пересекающимися хордами окружности равен полусумме противоположных дуг, высекаемых этими хордами.
Решение. Пусть M
и N
— середины дуг AB
и AC
, P
и Q
— точки пересечения хорды MN
с хордами AB
и AC
соответственно. Тогда
\angle APQ=\angle APN=\frac{\cup AN+\cup MB}{2}=\frac{\cup CN+\cup AM}{2}=\angle AQM=\angle AQP
(см. задачу 26). Поэтому треугольник PAQ
— равнобедренный. Следовательно, AP=AQ
.