4786. Пусть A_{1}A_{2}\ldots A_{n}
— правильный многоугольник с нечётным числом сторон, M
— произвольная точка на дуге A_{1}A_{n}
окружности, описанной около многоугольника. Докажите, что сумма расстояний от точки M
до вершин с нечётными номерами равна сумме расстояний от M
до вершин с чётными номерами.
Указание. Примените теорему Птолемея для n
четырёхугольников MA_{1}A_{2}A_{3}
, MA_{2}A_{3}A_{4}
и т. д.
Решение. Рассмотрим правильный пятиугольник A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}
. Пусть точка M
принадлежит дуге A_{1}A_{5}
его описанной окружности. Обозначим
A_{1}A_{2}=a,~A_{1}A_{3}=A_{2}A_{4}=A_{3}A_{5}=A_{5}A_{2}=A_{1}A_{4}=b,
MA_{1}=d_{1},~MA_{2}=d_{2},~MA_{3}=d_{3},~MA_{4}=d_{4},~MA_{5}=d_{5}.
Применим теорему Птолемея (см. задачу 130) к пяти вписанным четырёхугольникам MA_{1}A_{2}A_{3}
, MA_{2}A_{3}A_{4}
, MA_{3}A_{4}A_{5}
, A_{4}A_{5}MA_{1}
и A_{5}MA_{1}A_{2}
. Получим следующие равенства:
ad_{1}+ad_{3}=bd_{2},
bd_{3}=ad_{2}+ad_{4},
ad_{3}+ad_{5}=bd_{4},
ad_{1}+bd_{5}=ad_{4},
bd_{1}+ad_{5}=ad_{2}.
Сложив их, получим, что
(2a+b)(d_{1}+d_{3}+d_{5})=(2a+b)(d_{2}+d_{4}).
Следовательно,
d_{1}+d_{3}+d_{5}=d_{2}+d_{4}.
Аналогично для любого правильного n
-угольника с нечётным числом сторон.
Примечание. См. также статью Е.Бакаева «Обобщение теоремы Помпею», Квант, 2017, N1, с.39-43.