4809. В прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 26, вписана окружность радиуса 4. Найдите периметр треугольника.
Ответ. 60.
Указание. Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности полупериметра и противолежащей стороны.
Решение. Расстояние от вершины прямого угла данного треугольника до точки касания вписанной окружности с катетом треугольника равно радиусу вписанной окружности (r=4)
.
С другой стороны, это расстояние равно p-c
, где p
— полупериметр треугольника, а c
— гипотенуза (c=26)
(см. задачу 219). Следовательно, r=p-c
, или 4=p-26
. Поэтому p=30
, а периметр треугольника равен 60.