4828. Докажите, что точки, симметричные центрам вневписанных окружностей относительно центра описанной окружности, лежат на окружности, концентрической вписанной окружности с радиусом, равным диаметру описанной окружности.
Указание. Докажите, что отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.
Решение. Первый способ. Пусть вневписанная окружность касается стороны AB
треугольника ABC
;
\angle ACB=\gamma,~\angle CAB=\alpha,~\angle CBA=\beta;
I
— центр вписанной окружности, I_{c}
— центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB
, M
— середина отрезка II_{c}
.
Поскольку отрезок II_{c}
виден из точек A
и B
под прямым углом (угол между биссектрисами смежных углов равен 90^{\circ}
), то M
— центр окружности, описанной около четырёхугольника AIBO_{c}
. Тогда
\angle AI_{c}B=\angle AI_{c}I+\angle BI_{c}I=\angle ABI+\angle BAI=\frac{\beta}{2}+\frac{\alpha}{2}=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2},
\angle AMB=2\angle AI_{c}B=180^{\circ}-\gamma.
Следовательно, точки A
, C
, B
и M
лежат на одной окружности, т. е. на окружности, описанной около треугольника ABC
.
Пусть C_{1}
— точка, симметричная точке I_{c}
относительно центра O
описанной окружности треугольника ABC
. Поскольку M
и O
— середины отрезков II_{c}
и I_{c}C_{1}
, отрезок OM
— средняя линия треугольника I_{c}IC_{1}
, значит, IC_{1}=2OM=2R
, где R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Следовательно, точка C_{1}
лежит на окружности с центром I
и радиусом 2R
. Аналогично для точек A_{1}
и B_{1}
, симметричных центрам двух других вневписанных окружностей относительно точки O
.
Второй способ. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, I_{a}
— центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC=a
, O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, R
— её радиус, L
— точка пересечения луча QI
с описанной окружностью, M
— точка, симметричная точке I_{a}
относительно O
.
Точки I
и I_{a}
лежат на биссектрисе угла BAC
, а L
— середина отрезка II_{a}
(см. задачу 57), поэтому OL
— средняя линия треугольника IMI_{a}
. Значит, MI=2OL=2R
, т. е. точка M
лежит на окружности с центром I
и радиусом 2R
. Аналогично для центров двух других вневписанных окружностей.
Примечание. См. также статью И.Ф.Шарыгина «Вокруг биссектрисы», Квант, 1983, N8, с.32-36.