4838. Три окружности попарно касаются друг друга внешним образом в точках A
, B
и C
. Докажите, что касательные к этим окружностям в точках A
, B
и C
пересекаются в одной точке.
Указание. Докажите, что вписанная окружность треугольника с вершинами в центрах данных окружностей касается его сторон в точках A
, B
и C
.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
— центры указанных окружностей; x
, y
, z
— их радиусы. Точки A
, B
, C
лежат на сторонах O_{1}O_{2}
, O_{2}O_{3}
, O_{1}O_{3}
треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
. Если A_{1}
— точка касания вписанной окружности этого треугольника со стороной O_{1}O_{2}
, а p
— полупериметр треугольника, то
O_{1}A_{1}=p-O_{2}O_{3}=x+y+z-(y+z)=x.
Поэтому точка A_{1}
совпадает с точкой A
(см. задачи 219 и 4728).
Аналогично докажем, что вписанная окружность касается остальных сторон треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
в точках B
и C
.
Следовательно, перпендикуляры к сторонам треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
, восставленные из точек A
, B
и C
(т. е. указанные касательные), пересекаются в центре вписанной окружности этого треугольника.