4844. Известно, что AE
и CD
— биссектрисы треугольника ABC
, \angle CDE=30^{\circ}
. Докажите, что один из углов треугольника ABC
равен 60^{\circ}
или 120^{\circ}
.
Указание. Пусть точки D_{1}
и E_{1}
— образы точек D
и E
при симметриях относительно прямых AE
и CD
соответственно. Тогда треугольник DEE_{1}
— равносторонний. Рассмотрите два случая: точки D_{1}
и E_{1}
совпадают; точки D_{1}
и E_{1}
различны.
Решение. Обозначим через O
точку пересечения биссектрис треугольника ABC
. Пусть D_{1}
— образ точки D
при симметрии относительно прямой AE
, E_{1}
— образ точки E
при симметрии относительно прямой CD
. Тогда точки D_{1}
и E_{1}
лежат на прямой AC
.
Треугольник DEE_{1}
— равносторонний, так как DE=DE_{1}
, а \angle EDE_{1}=2\angle EDC=60^{\circ}
.
Если точки E_{1}
и D_{1}
совпадают (рис. 1), то EA
— биссектриса угла DEE_{1}
. Поэтому
\angle DEA=30^{\circ},~\angle DOE=120^{\circ},
а так как \angle DOE=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B
(см. задачу 1101), то \angle B=60^{\circ}
.
Пусть теперь точки E_{1}
и D_{1}
различны (рис. 2). Поскольку ED_{1}=ED=EE_{1}
, то треугольник D_{1}EE_{1}
— равнобедренный. Поэтому
\angle ADE=\angle AD_{1}E=\angle EE_{1}C=180^{\circ}-\angle AE_{1}E.
Следовательно, точки A
, D
, E
и E_{1}
лежат на одной окружности. Поэтому
\angle DAE=\angle DE_{1}E=60^{\circ},~\angle BAC=120^{\circ}.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Журнал «Квант». — 1987, № 2, с. 22, М1028
Источник: Задачник «Кванта». — М1028
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.41, с. 105