4844. Известно, что
AE
и
CD
— биссектрисы треугольника
ABC
,
\angle CDE=30^{\circ}
. Докажите, что один из углов треугольника
ABC
равен
60^{\circ}
или
120^{\circ}
.
Указание. Пусть точки
D_{1}
и
E_{1}
— образы точек
D
и
E
при симметриях относительно прямых
AE
и
CD
соответственно. Тогда треугольник
DEE_{1}
— равносторонний. Рассмотрите два случая: точки
D_{1}
и
E_{1}
совпадают; точки
D_{1}
и
E_{1}
различны.
Решение. Обозначим через
O
точку пересечения биссектрис треугольника
ABC
. Пусть
D_{1}
— образ точки
D
при симметрии относительно прямой
AE
,
E_{1}
— образ точки
E
при симметрии относительно прямой
CD
. Тогда точки
D_{1}
и
E_{1}
лежат на прямой
AC
.
Треугольник
DEE_{1}
— равносторонний, так как
DE=DE_{1}
, а
\angle EDE_{1}=2\angle EDC=60^{\circ}
.
Если точки
E_{1}
и
D_{1}
совпадают (рис. 1), то
EA
— биссектриса угла
DEE_{1}
. Поэтому
\angle DEA=30^{\circ},~\angle DOE=120^{\circ},

а так как
\angle DOE=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B
(см. задачу 1101), то
\angle B=60^{\circ}
.
Пусть теперь точки
E_{1}
и
D_{1}
различны (рис. 2). Поскольку
ED_{1}=ED=EE_{1}
, то треугольник
D_{1}EE_{1}
— равнобедренный. Поэтому
\angle ADE=\angle AD_{1}E=\angle EE_{1}C=180^{\circ}-\angle AE_{1}E.

Следовательно, точки
A
,
D
,
E
и
E_{1}
лежат на одной окружности. Поэтому
\angle DAE=\angle DE_{1}E=60^{\circ},~\angle BAC=120^{\circ}.