4846. Из вершины B
параллелограмма ABCD
проведены его высоты BK
и BH
. Известны отрезки KH=a
и BD=b
. Найдите расстояние от точки B
до точки пересечения высот треугольника BKH
.
Ответ. \sqrt{b^{2}-a^{2}}
.
Указание. Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны (см. задачу 1257).
Решение. Первый способ. Поскольку диагональ BD
данного параллелограмма видна из точек K
и H
под прямым углом, точки K
и H
расположены на окружности с диаметром BD
. Пусть P
— проекция центра O
этой окружности (O
— середина BD
) на сторону KH
треугольника BKH
, M
— точка пересечения высот треугольника BKH
(рис. 1). Тогда
OP=\sqrt{OH^{2}-PH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{2}.
Следовательно (см. задачу 1257), BM=2OP=\sqrt{b^{2}-a^{2}}
.
Второй способ. Пусть F
— проекция точки D
на прямую BC
, M
— точка пересечения высот треугольника BKH
(рис. 2). При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{KD}
точка B
переходит в точку F
, а точка M
— в точку H
(так как KMHD
— параллелограмм). Поэтому треугольник FHD
равен треугольнику BMK
.
В прямоугольном треугольнике KHF
известны катет KH=a
и гипотенуза KF=BD=b
(KBFD
— прямоугольник). Следовательно,
BM=FH=\sqrt{KF^{2}-KH^{2}}=\sqrt{b^{2}-a^{2}}.
Автор: Бартенев Ф. А.
Источник: Журнал «Квант». — 1972, № 4, с. 40, М139
Источник: Задачник «Кванта». — М139
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 15.5, с. 40
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 15.6, с. 346