4854. В окружность вписаны треугольники T_{1}
и T_{2}
, причём вершины треугольника T_{2}
являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника T_{1}
. Докажите, что в шестиугольнике, являющемся пересечением треугольников T_{1}
и T_{2}
, диагонали, соединяющие противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника T_{1}
и пересекаются в одной точке.
Указание. Докажите, что указанные диагонали проходят через точку пересечения биссектрис треугольника T_{1}
.
Решение. Пусть A
, B
, C
— вершины треугольника T_{1}
; A_{1}
— середина дуги BC
, не содержащей точки A
; B_{1}
— середина дуги AC
, не содержащей точки B
; C_{1}
— середина дуги AB
, не содержащей точки C
. Тогда A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— вершины треугольника T_{2}
.
Пусть MNKLEF
— указанный шестиугольник (рис. 1). Поскольку лучи AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
— биссектрисы углов треугольника ABC
, то отрезки AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
пересекаются в одной точке. Обозначим её буквой P
, а точку пересечения отрезков BB_{1}
и A_{1}C_{1}
— буквой Q
. Тогда (см. задачу 26)
\angle BQC_{1}=\frac{1}{2}(\cup BC_{1}+\cup B_{1}A_{1})=\angle BCC_{1}+\angle A_{1}AC+\angle B_{1}BC=
=\frac{1}{2}\angle BCA+\frac{1}{2}\angle BAC+\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot180^{\circ}=90^{\circ}.
Кроме того,
\angle BC_{1}A_{1}=\frac{1}{2}\cup BA_{1}=\frac{1}{2}\cup CA_{1}=\angle CC_{1}A_{1}.
Поэтому высота C_{1}Q
треугольника BC_{1}P
является его биссектрисой. Следовательно, треугольник BC_{1}P
— равнобедренный, Q
— середина BP
. Тогда и треугольник BMP
— равнобедренный, \angle BPM=\angle PBM=\angle PBA
. Значит, PM\parallel AB
. Аналогично PL\parallel AB
. Следовательно, отрезок ML
проходит через точку P
и параллелен стороне AB
. Аналогично для диагоналей NE
и KF
.