4865. Касательные к описанной вокруг треугольника
ABC
окружности, проведённые в точках
A
и
B
, пересекаются в точке
P
. Докажите, что прямая
PC
пересекает сторону
AB
в точке
K
, делящей её в отношении
AC^{2}:BC^{2}
.
Указание. Рассмотрите подобные треугольники.
Решение. а)
Первый способ. Обозначим
\angle BAC=\alpha
,
\angle ABC=\beta
. Пусть
A_{1}
и
B_{1}
— проекции точки
K
на прямые
CA
и
CB
соответственно, а
A_{2}
и
B_{2}
— проекции на эти прямые точки
P
. Тогда
KA_{1}=AK\sin\alpha,~KB_{1}=BK\sin\beta,~\frac{KA_{1}}{KB_{1}}=\frac{AK\sin\alpha}{BK\sin\beta}.

Угол
PAA_{2}
— вертикальный с углом между касательной и хордой
AC
, поэтому
\angle PAA_{2}=\angle ABC=\beta.

Аналогично,
\angle PBB_{2}=\angle BAC=\alpha.

Значит,
PA_{2}=PA\sin\beta,~PB_{2}=PB\sin\alpha,~\frac{PA_{2}}{PB_{2}}=\frac{PA\sin\beta}{PB\sin\alpha}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha},

так как
PA=PB
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки.
Из подобия двух пар подобных треугольников получаем, что
\frac{KA_{1}}{KB_{1}}=\frac{PA_{2}}{PB_{2}},~\mbox{или}~\frac{AK\sin\alpha}{BK\sin\beta}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha},

а так как по теореме синусов
\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{AC}{BC}
, то
\frac{AK}{BK}=\frac{\sin^{2}\beta}{\sin^{2}\alpha}=\left(\frac{AC}{BC}\right)^{2}=\frac{AC^{2}}{BC^{2}}.

Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть прямая
CP
пересекает окружность в точке
F
, отличной от точки
C
. Из подобия треугольников
PAC
и
PFA
следует, что
\frac{AC}{AF}=\frac{AP}{PF}
; из подобия треугольников
PBC
и
PFB
—
\frac{BC}{BF}=\frac{BP}{PF}
. Разделив почленно эти равенства и заметив, что
AP=BP
, получим, что
\frac{AC}{BC}=\frac{AF}{BF}
.
С другой стороны, из подобия треугольников
AKF
и
CKB
следует, что
\frac{AF}{BC}=\frac{AK}{KC}
, а из подобия треугольников
AKC
и
FKB
—
\frac{BF}{AC}=\frac{BK}{KC}
. Разделив почленно эти равенства, получим, что
\frac{AK}{BK}=\frac{AF}{BF}\cdot\frac{AC}{BC}=\frac{AC}{BC}\cdot\frac{AC}{BC}=\frac{AC^{2}}{BC^{2}}.

Третий способ. См. задачи 4121 и 10449.
б) См. задачу 10449.
Автор: Литовченко С.
Источник: Журнал «Квант». — 1985, № 3, с. 25, М913; 1985, № 7, с. 46, М913
Источник: Задачник «Кванта». — М913