4879. Докажите, что центры четырёх окружностей, описанных около четырёх треугольников, образованных четырьмя пересекающимися прямыми плоскости, лежат на одной окружности.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение. Если точки D
, F
и E
лежат на одной прямой, а точка P
— вне этой прямой, то центры описанных окружностей треугольников DPF
, EPF
, DPE
и точка P
лежат на одной окружности.
Действительно, пусть D_{1}
, F_{1}
и E_{1}
— середины отрезков DP
, FP
и EP
соответственно. Тогда центр O_{e}
описанной окружности треугольника DPF
— точка пересечения перпендикуляра к DP
, проходящего через точку D_{1}
, и перпендикуляра к FP
, проходящего через точку F_{1}
. Аналогично для центров O_{d}
и O_{f}
описанных окружностей треугольников EPF
и DPE
.
Точки D_{1}
, F_{1}
и E_{1}
— основания перпендикуляров, опущенных из точки P
на стороны треугольника O_{e}O_{d}O_{f}
или на их продолжения, а так как точки D_{1}
, F_{1}
и E_{1}
лежат на одной прямой (прямой, содержащей среднюю линию треугольника DPE
), то точка P
лежит на описанной окружности треугольника O_{e}O_{d}O_{f}
(D_{1}E_{1}
— прямая Симсона, соответствующая точке P
, см. задачу 83). Что и требовалось доказать.
Вернёмся к нашей задаче. Пусть прямые AB
, AC
и BC
пересекают четвёртую прямую в точках D
, E
и F
соответственно. Известно, что четыре окружности, описанные около треугольников DBF
, CEF
, DAE
и BAC
, пересекаются в одной точке. Обозначим её P
.
В нашем случае точки D
, F
и E
лежат на одной прямой, а точка P
— вне этой прямой. Окружность с центром O_{e}
, описанная около треугольника DPF
, — это описанная окружность треугольника DBF
, окружность с центром O_{d}
, описанная около треугольника EPF
, — описанная окружность треугольника CEF
, а окружность с центром O_{f}
, описанная около треугольника DPE
, — описанная окружность треугольника DAE
. По доказанному, точки O_{e}
, O_{d}
, O_{f}
и P
лежат на одной окружности. Аналогично докажем, что на этой же окружности лежит и центр описанной окружности треугольника BAC
. Отсюда следует утверждение задачи.