4885. В треугольник вписана окружность. Параллельно сторонам треугольника к ней проведены касательные, и около образовавшихся малых треугольников описаны окружности радиусов R_{1}
, R_{2}
, R_{3}
. Найдите радиус описанной окружности исходного треугольника.
Указание. Каждый из малых треугольников подобен исходному с коэффициентом, равным и отношению полупериметров, и отношению радиусов описанных окружностей.
Решение. Пусть прямая, касающаяся вписанной окружности треугольника ABC
, пересекает стороны AB
и AC
в точках M
и N
соответственно, вписанная окружность касается стороны AB
в точке P
, R_{1}
— радиус описанной окружности треугольника AMN
. Обозначим через p
полупериметр треугольника ABC
, а p_{1}
— полупериметр треугольника AMN
, R
— искомый радиус описанной окружности данного треугольника ABC
.
Треугольник AMN
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{p_{1}}{p}
, поэтому \frac{R_{1}}{R}=\frac{p_{1}}{p}
. Аналогично \frac{R_{2}}{R}=\frac{p_{2}}{p}
и \frac{R_{3}}{R}=\frac{p_{3}}{p}
, где p_{2}
и p_{3}
— полупериметры двух других отсечённых треугольников радиусов R_{2}
и R_{3}
соответственно.
Известно, что AQ=p_{1}
(см. задачу 4805). Аналогично для двух других отсечённых треугольников. Значит, p_{1}+p_{2}+p_{3}=p
.
Сложив почленно равенства
\frac{R_{1}}{R}=\frac{p_{1}}{p},~\frac{R_{2}}{R}=\frac{p_{2}}{p},~\frac{R_{3}}{R}=\frac{p_{3}}{p},
получим, что
\frac{R_{1}}{R}+\frac{R_{2}}{R}+\frac{R_{3}}{R}=\frac{p_{1}}{p}+\frac{p_{2}}{p}+\frac{p_{3}}{p}=\frac{p_{1}+p_{2}+p_{3}}{p}=\frac{p}{p}=1.
Следовательно,
R=R_{1}+R_{2}+R_{3}.