4947. Докажите, что расстояния d_{a}
, d_{b}
, d_{c}
от центра вписанной в треугольник окружности до центров вневписанных окружностей удовлетворяют неравенству
d_{a}+d_{b}+d_{c}\leqslant6R,
где R
— радиус окружности, описанной около треугольника.
Указание. Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам (см. задачу 57); углы треугольника удовлетворяют неравенству \sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\leqslant\frac{3}{2}
(см. задачу 4157).
Решение. Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
— углы при вершинах соответственно A
, B
и C
треугольника ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
, AB=c
; I
— центр вписанной окружности; I_{a}
, I_{b}
, I_{c}
— центры вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных a
, b
, c
соответственно; II_{a}=d_{a}
, II_{b}=d_{b}
, II_{c}=d_{c}
.
Описанная окружность треугольника ABC
проходит через середину M
отрезка II_{a}
(см. задачу 57), поэтому II_{a}=2IM
, а так как IM=BM
(см. задачу 788), то II_{a}=2BM
.
По теореме синусов BM=2R\sin\frac{\alpha}{2}
, значит, II_{a}=2BM=4R\sin\frac{\alpha}{2}
. Аналогично II_{b}=4R\sin\frac{\beta}{2}
и II_{c}=4R\sin\frac{\gamma}{2}
. Поскольку
\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\leqslant\frac{3}{2}
(см. задачу 4157),
d_{a}+d_{b}+d_{c}=II_{a}+II_{b}+II_{c}=4R\sin\frac{\alpha}{2}+4R\sin\frac{\beta}{2}+4R\sin\frac{\gamma}{2}=
=4R\left(\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\right)\leqslant4R\cdot\frac{3}{2}=6R.
Что и требовалось доказать.