4959. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 80^{\circ}
. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными к гипотенузе.
Ответ. 70^{\circ}
.
Решение. Пусть CH
и CM
— соответственно высота и медиана прямоугольного треугольника ABC
, в котором \angle ACB=90^{\circ}
, \angle ABC=10^{\circ}
.
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), поэтому треугольник BMC
равнобедренный, \angle BCM=\angle CBM=10^{\circ}
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle CMH=\angle BCM+\angle CBM=20^{\circ}.
Следовательно,
\angle MCH=90^{\circ}-\angle CMH=90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}.
.