4979. В треугольнике ABC
проведена прямая, пересекающая стороны AB
и BC
в точках P
и Q
соответственно. Известно, что AB=3
, AC=\sqrt{5}
, длина медианы, проведённой из вершины A
к стороне BC
, равна \sqrt{6}
, а длины отрезков AP
, PQ
, QC
равны между собой. Найдите длину отрезка PQ
.
Ответ. 2\sqrt{10}-5
.
Решение. Пусть AM
— медиана треугольника ABC
. По формуле для медианы (см. задачу 4014)
AM^{2}=\frac{1}{4}(2AB^{2}+2BC^{2}-BC^{2}),~6=\frac{1}{4}(2\cdot9+2\cdot5-BC^{2}),
откуда находим, что BC=2
. Треугольник ABC
— прямоугольный, так как AC^{2}+BC^{2}=5+4=9=AB^{2}
.
Обозначим \angle ABC=\beta
. Тогда
\cos\beta=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}.
Обозначим AP=PQ=QC=x
. Тогда BP=3-x
, BQ=2-x
. По теореме косинусов
PQ^{2}=BP^{2}+BQ^{2}-2BP\cdot BQ\cos\beta,~x^{2}=(3-x)^{2}+(2-x)^{2}-2(3-x)(2-x)\cdot\frac{2}{3}.
После очевидных упрощений получим квадратное уравнение x^{2}+10x-15=0
, из которого находим, что x=2\sqrt{10}-5
.
Источник: Вступительный экзамен в институт стран Азии и Африки МГУ. — 2007, № 5, вариант 1