4991. В прямоугольном треугольнике DEF
на гипотенузу опущены медиана DM
и высота DQ
. Известно, что MD=\frac{\sqrt{17}}{2}
и \sin\angle DMQ=\frac{8}{17}
. Найдите катеты треугольника DEF
.
Ответ. 1 и 4.
Решение. Обозначим \angle DMQ=\alpha
. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), поэтому треугольник DMF
равнобедренный, тогда
\angle EQD=\angle DFM=\angle FDM=\frac{\alpha}{2},
а так как
\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{64}{89}}=\frac{15}{17},
то
\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{15}{17}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{17}},~\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{15}{17}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{17}}.
Из прямоугольных треугольников QDM
, QDA
и QDE
находим, что
DQ=DM\sin\alpha=\frac{\sqrt{17}}{2}\cdot\frac{8}{17}=\frac{4}{\sqrt{17}},
DF=\frac{DQ}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{4}{\sqrt{17}}}{\frac{1}{\sqrt{17}}}=4,~DE=\frac{DQ}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{4}{\sqrt{17}}}{\frac{4}{\sqrt{17}}}=1.