4997. Периметр равнобедренного треугольника ABC
равен 18. Через середину D
основания AB
проведена прямая, пересекающая сторону BC
в точке K
и делящая площадь треугольника ABC
в отношении 5:2
, при этом угол ADK
равен 135^{\circ}
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 12.
Решение. Заметим,что
S_{\triangle BKD}\lt S_{\triangle BCD}=S_{\triangle ACD}\lt S_{ACKD},
поэтому
\frac{S_{\triangle BKD}}{S_{ACKD}}=\frac{2}{5},~\frac{S_{\triangle BKD}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{2}{7},
а так как (см. задачу 3007)
\frac{S_{\triangle BKD}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{BK}{BC}\cdot\frac{BD}{AB}=\frac{BK}{BC}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{7},
то \frac{BK}{BC}=\frac{4}{7}
.
Медиана CD
равнобедренного треугольника ABC
является его высотой, поэтому
\angle CDK=90^{\circ}-\angle BDK=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}=\angle BDK,
т. е. DK
— биссектриса треугольника BDC
. По свойству биссектрисы треугольника \frac{BD}{CD}=\frac{BK}{CK}=\frac{4}{3}
.
Положим BD=4x
, CD=3x
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BDC
находим, что BC=5x
. По условию задачи 2BC+2BD=18
, или 10x+8x=18
, откуда x=1
. Тогда BD=4x=4
, CD=3x=3
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=BD\cdot CD=4\cdot3=12.