5042. С помощью циркуля и линейки постройте остроугольный треугольник по основаниям двух его высот и прямой, содержащей третью высоту.
Указание. Высоты остроугольного треугольника делят пополам углы его ортотреугольника, т. е. треугольника с вершинами в основаниях высот данного (см. задачу 533).
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть B_{1}
и C_{1}
— данные основания его высот BB_{1}
и CC_{1}
, а высота AA_{1}
лежит на данной прямой l
. Тогда треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
— ортотреугольник треугольника ABC
. Следовательно, лучи A_{1}A
, B_{1}B
и C_{1}C
— биссектрисы углов треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
(см. задачу 533).
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку M
, симметричную точке C_{1}
относительно данной прямой l
. Пересечение прямой B_{1}M
с прямой l
даёт основание A_{1}
третьей высоты искомого треугольника (так как прямая l
делит угол C_{1}A_{1}B_{1}
пополам).
Обозначим через H
точку пересечения биссектрис треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Через точки B_{1}
и C_{1}
проведём прямые, соответственно перпендикулярные биссектрисам углов B_{1}
и C_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Пусть эти прямые пересекаются в точке A
, Обозначим точку пересечения прямых AC_{1}
и B_{1}H
буквой B
, а прямых AB_{1}
и C_{1}H
— буквой C
. Докажем, что ABC
— искомый треугольник, т. е., что AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты построенного треугольника ABC
.
Действительно, пусть
\angle AB_{1}C_{1}=\angle CB_{1}A_{1}=\alpha,~\angle AC_{1}B_{1}=\angle BC_{1}A_{1}=\beta.
Поскольку из точек B_{1}
и C_{1}
отрезок AH
виден под прямым углом, то эти точки лежат на окружности с диаметром AH
. Тогда
\angle AHC_{1}=\angle AB_{1}C_{1}=\alpha,~\angle AHB_{1}=\angle AC_{1}B_{1}=\beta,
\angle B_{1}A_{1}C_{1}=180^{\circ}-\angle A_{1}B_{1}C_{1}-\angle A_{1}C_{1}B_{1}=180^{\circ}-(180^{\circ}-2\alpha)-(180^{\circ}-2\beta)=2\alpha+2\beta-180^{\circ},
\angle HA_{1}B_{1}=\angle HA_{1}C_{1}=\frac{1}{2}\angle B_{1}A_{1}C_{1}=\alpha+\beta-90^{\circ}.
а так как CHA_{1}
— внешний угол треугольника A_{1}HC_{1}
, то
\angle CHA_{1}=\angle HA_{1}C_{1}+\angle HC_{1}A_{1}=(\alpha+\beta-90^{\circ})+(90^{\circ}-\beta)=\alpha.
Аналогично находим, что \angle BHA_{1}=\beta
. Поскольку \angle AHC_{1}=\angle CHA_{1}
, то точки A
, H
и A_{1}
лежат на одной прямой.
Кроме того, из равенства \angle CHA_{1}=\angle CB_{1}A_{1}
следует, что точки A_{1}
, H
, B_{1}
и C
лежат на одной окружности. Поэтому
\angle HA_{1}C=\angle HB_{1}C=90^{\circ}.
Аналогично докажем, что \angle HA_{1}B=90^{\circ}
. Следовательно, точки B
, A_{1}
и C
лежат на одной прямой и AA_{1}
— высота треугольника ABC
. Осталось заметить, что по построению BB_{1}
и CC_{1}
— также высоты треугольника ABC
.