5048. Расстояние от точки пересечения высот треугольника ABC
до вершины C
равно радиусу описанной окружности. Найдите угол ACB
.
Ответ. 60^{\circ}
или 120^{\circ}
.
Указание. Расстояние от точки пересечения высот до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны (см. задачу 1257).
Решение. Первый способ. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
, C_{1}
— середина AB
, O
— центр описанной окружности, R
— её радиус. Поскольку CH=2OC_{1}
(см. задачу 1257), то
OC_{1}=\frac{1}{2}CH=\frac{1}{2}R=\frac{1}{2}OB.
Следовательно,
\angle BOC_{1}=60^{\circ},~\angle AOB=2\angle BOC_{1}=120^{\circ}.
Если точки C
и O
лежат по одну сторону от прямой AB
, то
\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}\cdot120^{\circ}=60^{\circ}.
Если же точки C
и O
лежат по разные стороны от прямой AB
, то
\angle ACB=\frac{1}{2}(360^{\circ}-\angle AOB)=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
Второй способ. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
, C_{1}
— середина стороны AB
, O
— центр описанной окружности, R
— её радиус. Тогда R^{2}=CH^{2}=4R^{2}-AB^{2}
(см. задачу 10768). Отсюда находим, что AB=R\sqrt{3}
.
По теореме синусов
\sin\angle C=\frac{AB}{2R}=\frac{R\sqrt{3}}{2R}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Следовательно, \angle C=60^{\circ}
или \angle C=120^{\circ}
.
