5059. Докажите, что в треугольнике шесть точек — середины сторон и основания высот — лежат на одной окружности (окружности девяти точек).
Указание. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины сторон BC
, AC
, AB
треугольника ABC
; A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
— основания высот. Поскольку треугольник CB_{2}B
прямоугольный, то
B_{2}A_{1}=\frac{1}{2}BC=C_{1}B_{1}
(см. задачу 1109). Кроме того, A_{1}C_{1}\parallel B_{1}B_{2}
. Поэтому A_{1}C_{1}B_{1}B_{2}
— равнобедренная трапеция. Следовательно, точки A_{1}
, C_{1}
, B_{1}
и B_{2}
лежат на одной окружности.
Аналогично докажем, что точки A_{2}
И C_{2}
лежат на описанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Примечание. Кроме того, эта окружность содержит ещё середины отрезков, соединяющих вершины треугольника ABC
с точкой пересечения его высот (окружность девяти точек), касается вписанной и трёх вневписанных окружностей (теорема Фейербаха); её центр является серединой отрезка, соединяющего центр описанной окружности и точку пересечения высот.