5094. Среди всех треугольников ABC
с данным углом C
и стороной AB
найдите треугольник с наибольшим возможным периметром.
Ответ. Равнобедренный треугольник.
Указание. См. задачу 157 (задача Архимеда) или постройте точку A_{1}
, симметричную вершине A
относительно биссектрисы внешнего угла C
треугольника ABC
.
Решение. Первый способ. Пусть C
— произвольная точка, удовлетворяющая условию задачи, причём AC\ne BC
. Опишем окружность около треугольника ABC
. Отметим точку C_{0}
— середину той дуги этой окружности, которая содержит точку C
. Докажем, что AC_{0}+BC_{0}\gt AC+BC
.
Можно считать, что AC\gt BC
. Опустим перпендикуляр C_{0}H
на AC
. Тогда AH=HC+BC
(см. задачу 167). Отрезок AC_{0}
— гипотенуза прямоугольного треугольника AHC_{1}
, поэтому AC_{0}\gt AH
. Следовательно,
AC_{0}+BC_{0}=2AC_{0}\gt2AH=AH+AH=AH+HC+BC=AC+BC.
Что и требовалось доказать.
Аналогично для случая, когда AC\lt BC
.
Второй способ. Пусть A_{1}
— точка, симметричная вершине A
относительно биссектрисы внешнего угла C
. Тогда
BA_{1}=A_{1}C+BC=AC+BC.
Поскольку ACB
— внешний угол равнобедренного треугольника ACA_{1}
, то \angle AA_{1}B=\frac{1}{2}\angle ACB
. Значит, геометрическое место точек A_{1}
есть дуга фиксированной окружности, проходящей через точки A
и B
, расположенная в по ту же сторону от прямой AB
, что и точка C
, причём угловая величина этой дуги равна угловой величине данного угла ACB
Отрезок BA_{1}
максимален, если BA_{1}
— диаметр окружности. Тогда точка C
— центр этой окружности. Следовательно, CA=CB
.