5097. С помощью циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник, основание которого лежало бы на одной стороне данного острого угла, вершина — на другой стороне того же угла, а боковые стороны проходили бы через две данные точки внутри этого угла.
Указание. Пусть A_{1}
— образ данной внутри угла точки A
при симметрии относительно одной из сторон этого угла. Если B
— вторая данная точка, то отрезок A_{1}B
виден из вершины искомого равнобедренного треугольника под углом 180^{\circ}-\alpha
, где \alpha
— величина данного острого угла.
Решение. Предположим, что нужный треугольник XYZ
построен. Пусть его основание YZ
лежит на одной стороне данного угла с вершиной O
, а вершина X
— на другой. Пусть боковые стороны XY
и XZ
этого треугольника проходят через данные внутри угла XOZ
точки A
и B
соответственно. Для определённости будем считать, что точка Y
лежит между точками O
и Z
.
Проведём высоту XH
треугольника XYZ
. Пусть точка A_{1}
симметрична точке A
относительно прямой OX
. Если \angle XOY=\alpha
, то
\angle A_{1}XB=2\angle OXY+2\angle YXH=2\angle OXH=2(90^{\circ}-\alpha)=180^{\circ}-2\alpha,
т. е. из точки X
отрезок A_{1}B
виден под углом 180^{\circ}-2\alpha
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку A_{1}
, симметричную данной точке A
относительно той стороны данного угла, на которой должна лежать вершина искомого равнобедренного треугольника. На отрезке A_{1}B
как на хорде строим дугу окружности, вмещающую угол 180^{\circ}-2\alpha
, где \alpha
— величина данного угла (см. задачу 2889). Искомая вершина X
равнобедренного треугольника является пересечением этой дуги с рассматриваемой стороной данного угла. При этом проекция точки X
на вторую сторону данного угла должна лежать между проекциями точек A
и B
.