5100. Даны прямая l
и точки A
и B
по одну сторону от неё. Постройте путь луча из A
в B
, который отражается от прямой l
по следующему закону: угол падения на \varphi
меньше угла отражения.
Указание. Рассмотрите образ A_{1}
точки A
при симметрии относительно прямой l
и подсчитайте угол A_{1}XB
, где X
— точка отражения луча от прямой l
.
Решение. Пусть A_{1}
— точка, симметричная точке A
относительно прямой l
. Тогда, если AXB
— путь луча (X
— точка на прямой l
) и точки M
и N
лежат на l
по разные стороны от точки X
, то
\angle A_{1}XB=\angle A_{1}XM+\angle MXB=\angle AXM+(180^{\circ}-\angle BXN)=180^{\circ}-\varphi.
Следовательно, X
— точка пересечения прямой l
с дугой окружности, построенной как на хорде на отрезке A_{1}B
и вмещающей угол 180^{\circ}-\varphi
(см. задачу 2889).