5101. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник ABC
, если даны его вершины A
и B
, прямая l
, на которой лежит вершина C
, и разность углов \angle A-\angle B=\varphi
.
Указание. Рассмотрите образ B_{1}
точки B
при симметрии относительно прямой l
и подсчитайте угол B_{1}CA
.
Решение. Пусть угол между прямыми l
и AB
равен \alpha
, B_{1}
— точка, симметричная точке B
относительно прямой l
. Тогда
\angle B_{1}CA=\angle B_{1}CB+\angle BCA=
=2(\angle B+\alpha)+180^{\circ}-\angle A-\angle B=180^{\circ}-\varphi+2\alpha.
Итак, вершина C
— точка пересечения прямой l
с дугой окружности, построенной как на хорде на отрезке AB_{1}
, и вмещающей угол 180^{\circ}-\varphi+2\alpha
(см. задачу 2889).
Здесь рассмотрен случай, когда прямая l
не пересекает отрезок AB
. Другой случай рассматривается аналогично.