5104. Окружность касается катетов прямоугольного треугольника и описанной около него окружности. Докажите, что её радиус вдвое больше радиуса окружности, вписанной в треугольник.
Решение. Пусть O
— центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC
с катетами BC=a
, AC=b
и гипотенузой AB=c
. Тогда O
— середина AB
, а радиус окружности равен \frac{c}{2}
.
Пусть окружность с центром Q
искомого радиуса R
касается катетов BC
и AB
в точках M
и N
соответственно, а описанной окружности треугольника ABC
— в точке K
. Если P
— проекция точки O
на прямую AC
, то OP
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому CP=\frac{b}{2}
и OP=\frac{a}{2}
. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому OQ=OK-KQ=\frac{c}{2}-R
. Четырёхугольник CNQM
— квадрат, поэтому CN=QN=R
.
Рассмотрим прямоугольную трапецию OPNQ
, в которой
OP=\frac{a}{2},~QN=R,~OQ=\frac{c}{2}-R,~NP=|CP-CN|=\left|\frac{b}{2}-R\right|.
Опустим перпендикуляр OF
из точки O
на QN
. Тогда OF=NP=\left|\frac{b}{2}-R\right|
. Применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику OFQ
, получим, что OQ^{2}=OF^{2}+QF^{2}
, или
\left(\frac{c}{2}-R\right)^{2}=\left(\frac{b}{2}-R\right)^{2}+\left(R-\frac{a}{2}\right)^{2},
\frac{c^{2}}{4}-cR+R^{2}=\frac{b^{2}}{4}-bR+R^{2}+\frac{a^{2}}{4}-aR+R^{2}.
Учитывая, что \frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}=\frac{c^{2}}{4}
, получим, что
R=a+b-c=2r,
где r
— радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC
(см. задачу 217). Что и требовалось доказать.