5112. Докажите, что три прямые, симметричные относительно сторон треугольника прямой, проходящей через точку пересечения высот треугольника, пересекаются в одной точке.
Указание. Выразите угол между двумя из трёх указанных прямых через один из углов треугольника и докажите, что эти прямые пересекаются на описанной окружности треугольника.
Решение. Пусть
ABC
— произвольный треугольник,
H
— точка пересечения его высот,
l
— прямая, проходящая через точку
H
,
l_{c}
и
H_{c}
— образы прямой
l
и точки
H
при симметрии относительно прямой
AB
,
l_{a}
и
H_{a}
— относительно
BC
,
l_{b}
и
H_{b}
— относительно
AC
.
Точки
H_{c}
,
H_{a}
и
H_{b}
лежат на описанной окружности треугольника
ABC
(см. задачу 4785).
Обозначим
\angle BAC=\alpha
. Прямая
l_{b}
получена из прямой
l_{c}
композицией симметрий относительно прямых
AB
и
AC
, следовательно, угол между прямыми
l_{c}
и
l_{b}
, пересекающимися в некоторой точке
T
равен
180^{\circ}-2\alpha
, а так как
\angle H_{c}AH_{b}=2\angle ABC=2\alpha,

то точка
T
лежит на описанной окружности треугольника
ABC
, т. е. прямые
l_{c}
и
l_{b}
пересекаются на этой окружности. Аналогично для прямых
l_{c}
,
l_{a}
и
l_{a}
,
l_{b}
.
Прямые
l_{c}
,
l_{a}
и
l_{b}
пересекают окружность в точках
H_{c}
,
H_{a}
и
H_{b}
соответственно. Если треугольник не прямоугольный, то точки
H_{c}
,
H_{a}
и
H_{b}
различны. Следовательно, вторые точки пересечения этих прямых с окружностью совпадают. Поэтому все три прямые пересекаются на описанной окружности треугольника
ABC
.
Примечание. Другое доказательство принадлежности точки пересечения прямых
l_{c}
и
l_{a}
описанной окружности треугольника
ABC
.
Предположим, что прямая
l
, проходящая через точку
H
пересечения высот треугольника
ABC
, пересекает стороны
AB
и
BC
треугольника
ABC
в точках
C_{1}
и
A_{1}
соответственно, а прямые
l_{c}
и
l_{a}
пересекаются в точке
T
. Тогда
B
— точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах
C_{1}
и
A_{1}
треугольника
TA_{1}C_{1}
.
Обозначим
\angle H_{a}TH_{c}=\varphi
. Тогда
\angle ABC=\angle A_{1}BC_{1}=90^{\circ}-\frac{\varphi}{2},

а так как
\angle H_{a}BH_{c}=2\angle ABC=2\left(90^{\circ}-\frac{\varphi}{2}\right)=180^{\circ}-\varphi,

то четырёхугольник
BH_{a}TH_{c}
— вписанный. Следовательно, точка
T
лежит на описанной окружности треугольника
ABC
.
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 91, с. 189
Источник: Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — № 139, с. 52
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 436, с. 52