5112. Докажите, что три прямые, симметричные относительно сторон треугольника прямой, проходящей через точку пересечения высот треугольника, пересекаются в одной точке.
Указание. Выразите угол между двумя из трёх указанных прямых через один из углов треугольника и докажите, что эти прямые пересекаются на описанной окружности треугольника.
Решение. Пусть ABC
— произвольный треугольник, H
— точка пересечения его высот, l
— прямая, проходящая через точку H
, l_{c}
и H_{c}
— образы прямой l
и точки H
при симметрии относительно прямой AB
, l_{a}
и H_{a}
— относительно BC
, l_{b}
и H_{b}
— относительно AC
.
Точки H_{c}
, H_{a}
и H_{b}
лежат на описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 4785).
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Прямая l_{b}
получена из прямой l_{c}
композицией симметрий относительно прямых AB
и AC
, следовательно, угол между прямыми l_{c}
и l_{b}
, пересекающимися в некоторой точке T
равен 180^{\circ}-2\alpha
, а так как
\angle H_{c}AH_{b}=2\angle ABC=2\alpha,
то точка T
лежит на описанной окружности треугольника ABC
, т. е. прямые l_{c}
и l_{b}
пересекаются на этой окружности. Аналогично для прямых l_{c}
, l_{a}
и l_{a}
, l_{b}
.
Прямые l_{c}
, l_{a}
и l_{b}
пересекают окружность в точках H_{c}
, H_{a}
и H_{b}
соответственно. Если треугольник не прямоугольный, то точки H_{c}
, H_{a}
и H_{b}
различны. Следовательно, вторые точки пересечения этих прямых с окружностью совпадают. Поэтому все три прямые пересекаются на описанной окружности треугольника ABC
.
Примечание. Другое доказательство принадлежности точки пересечения прямых l_{c}
и l_{a}
описанной окружности треугольника ABC
.
Предположим, что прямая l
, проходящая через точку H
пересечения высот треугольника ABC
, пересекает стороны AB
и BC
треугольника ABC
в точках C_{1}
и A_{1}
соответственно, а прямые l_{c}
и l_{a}
пересекаются в точке T
. Тогда B
— точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах C_{1}
и A_{1}
треугольника TA_{1}C_{1}
.
Обозначим \angle H_{a}TH_{c}=\varphi
. Тогда
\angle ABC=\angle A_{1}BC_{1}=90^{\circ}-\frac{\varphi}{2},
а так как
\angle H_{a}BH_{c}=2\angle ABC=2\left(90^{\circ}-\frac{\varphi}{2}\right)=180^{\circ}-\varphi,
то четырёхугольник BH_{a}TH_{c}
— вписанный. Следовательно, точка T
лежит на описанной окружности треугольника ABC
.