5115. Задача Тебо. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— основания высот AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
. Докажите, что прямые Эйлера треугольников AB_{1}C_{1}
, BA_{1}C_{1}
и CA_{1}B_{1}
пересекаются на окружности девяти точек треугольника ABC
.
Указание. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
, а A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— центры описанных окружностей подобных между собой треугольников AB_{1}C_{1}
, A_{1}BC_{1}
и A_{1}B_{1}C
. Тогда прямые B_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
и B_{1}C_{2}
пересекаются на окружности девяти точек треугольника ABC
и образуют равные углы с прямыми Эйлера треугольников AB_{1}C_{1}
, A_{1}BC_{1}
и A_{1}B_{1}C
.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение. Если XY
и ZY
— хорды одной окружности, то образы прямых XY
и ZY
при поворотах в одном направлении на один и тот же угол вокруг точек соответственно X
и Z
пересекаются на этой окружности.
Действительно, если M
— точка пересечения образов этих прямых, то либо \angle YXM=\angle YZM
, либо \angle YXM+\angle YZM=180^{\circ}
. Следовательно, точки X
, Y
, Z
и M
лежат на описанной окружности треугольника XYZ
.
Предположим, что треугольник ABC
— остроугольный. Пусть H
— точка пересечения его высот AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
; A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— центры описанных окружностей подобных между собой треугольников AB_{1}C_{1}
, A_{1}BC_{1}
и A_{1}B_{1}C
. Точки A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
лежат на окружности девяти точек треугольника ABC
, так как AH
, BH
и CH
— диаметры описанных окружностей треугольников AB_{1}C_{1}
, A_{1}BC_{1}
и A_{1}B_{1}C
, а A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— центры этих окружностей.
Из подобия этих треугольников (см. задачу 19) следует, что прямые B_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
и B_{1}C_{2}
образуют равные углы с прямыми Эйлера этих треугольников. Поскольку прямые B_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
и B_{1}C_{2}
пересекаются на окружности девяти точек треугольника ABC
, то их образы при поворотах вокруг точек A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
на один и тот же угол (равный углу между каждой из них и соответствующей прямой Эйлера) также пересекаются на этой окружности.
Аналогично для случая тупоугольного треугольника.
Автор: Тебо В.
Источник: Избранные задачи из журнала «American Mathematical Monthly» / Пер. с англ. Ю. А. Данилова, под ред. В. М. Алексеева. — М.: Мир, 1977. — № 261, с. 81
Источник: Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — № 168, с. 56