5115. Задача Тебо. Пусть
A_{1}
,
B_{1}
и
C_{1}
— основания высот
AA_{1}
,
BB_{1}
и
CC_{1}
треугольника
ABC
. Докажите, что прямые Эйлера треугольников
AB_{1}C_{1}
,
BA_{1}C_{1}
и
CA_{1}B_{1}
пересекаются на окружности девяти точек треугольника
ABC
.
Указание. Пусть
AA_{1}
,
BB_{1}
и
CC_{1}
— высоты треугольника
ABC
, а
A_{2}
,
B_{2}
и
C_{2}
— центры описанных окружностей подобных между собой треугольников
AB_{1}C_{1}
,
A_{1}BC_{1}
и
A_{1}B_{1}C
. Тогда прямые
B_{1}A_{2}
,
B_{1}B_{2}
и
B_{1}C_{2}
пересекаются на окружности девяти точек треугольника
ABC
и образуют равные углы с прямыми Эйлера треугольников
AB_{1}C_{1}
,
A_{1}BC_{1}
и
A_{1}B_{1}C
.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение. Если
XY
и
ZY
— хорды одной окружности, то образы прямых
XY
и
ZY
при поворотах в одном направлении на один и тот же угол вокруг точек соответственно
X
и
Z
пересекаются на этой окружности.
Действительно, если
M
— точка пересечения образов этих прямых, то либо
\angle YXM=\angle YZM
, либо
\angle YXM+\angle YZM=180^{\circ}
. Следовательно, точки
X
,
Y
,
Z
и
M
лежат на описанной окружности треугольника
XYZ
.
Предположим, что треугольник
ABC
— остроугольный. Пусть
H
— точка пересечения его высот
AA_{1}
,
BB_{1}
и
CC_{1}
;
A_{2}
,
B_{2}
и
C_{2}
— центры описанных окружностей подобных между собой треугольников
AB_{1}C_{1}
,
A_{1}BC_{1}
и
A_{1}B_{1}C
. Точки
A_{2}
,
B_{2}
и
C_{2}
лежат на окружности девяти точек треугольника
ABC
, так как
AH
,
BH
и
CH
— диаметры описанных окружностей треугольников
AB_{1}C_{1}
,
A_{1}BC_{1}
и
A_{1}B_{1}C
, а
A_{2}
,
B_{2}
и
C_{2}
— центры этих окружностей.
Из подобия этих треугольников (см. задачу 19) следует, что прямые
B_{1}A_{2}
,
B_{1}B_{2}
и
B_{1}C_{2}
образуют равные углы с прямыми Эйлера этих треугольников. Поскольку прямые
B_{1}A_{2}
,
B_{1}B_{2}
и
B_{1}C_{2}
пересекаются на окружности девяти точек треугольника
ABC
, то их образы при поворотах вокруг точек
A_{2}
,
B_{2}
и
C_{2}
на один и тот же угол (равный углу между каждой из них и соответствующей прямой Эйлера) также пересекаются на этой окружности.
Аналогично для случая тупоугольного треугольника.